{"id":5659,"date":"2024-02-20T19:05:48","date_gmt":"2024-02-20T18:05:48","guid":{"rendered":"https:\/\/www.a2d.ai\/how-do-you-measure-the-accuracy-of-operators-calculating-shape-recognition-attributes\/"},"modified":"2025-12-05T16:00:04","modified_gmt":"2025-12-05T15:00:04","slug":"how-do-you-measure-the-accuracy-of-operators-calculating-shape-recognition-attributes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.a2d.ai\/en\/how-do-you-measure-the-accuracy-of-operators-calculating-shape-recognition-attributes\/","title":{"rendered":"How do you measure the accuracy of operators calculating shape recognition attributes?"},"content":{"rendered":"\t\t
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Comment mesurer la pr\u00e9cision d\u2019op\u00e9rateurs de calculs d\u2019attributs de reconnaissance de forme\u00a0?<\/h1>

1.<\/span>introduction<\/h2><\/div><\/div>

L\u2019\u00e9tat de l\u2019art en reconnaissance de formes et de caract\u00e8res propose un grand nombre d\u2019\u00e9tudes sur diff\u00e9rents descripteurs de formes [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] mais elles sont toutes bas\u00e9es sur la th\u00e9orie et l\u2019exp\u00e9rimentation et aucune ne propose de comparaison bas\u00e9e sur la pr\u00e9servation de l\u2019information, ce que nous appelons ici la pr\u00e9cision. Alors que certains moments statistiques semblent efficaces pour faire de la reconnaissance de formes, du fait de leurs propri\u00e9t\u00e9s invariantes, nous ne savons pas \u00e0 quels points ils conservent l\u2019information utile et quelle quantit\u00e9 de bruit ils introduisent. Nous voulons aussi conna\u00eetre la sensibilit\u00e9 de ces moments \u00e0 la taille des images, l\u2019\u00e9paisseur du trait ou encore l\u2019origine du motif (fait \u00e0 la main ou g\u00e9n\u00e9r\u00e9 par ordinateur). Nous proposons ici une comparaison entre diff\u00e9rents moments statistiques en utilisant une mesure de pr\u00e9cision dans le cadre de la reconnaissance de caract\u00e8res. Le reste de l\u2019article est articul\u00e9 comme suit\u00a0: la section 2 d\u00e9taille la th\u00e9orie des moments sur lesquels nous avons travaill\u00e9, pr\u00e9sentant aussi la transform\u00e9e inverse. Dans la section 3 nous pr\u00e9sentons notre m\u00e9thode de mesure de la pr\u00e9cision et dans la section 4, les donn\u00e9es et le protocole exp\u00e9rimental avec lesquels nous avons travaill\u00e9. La section 5 pr\u00e9sente nos r\u00e9sultats et nos commentaires. Nous concluons notre travail en section 6.<\/span><\/p>

2.<\/span>Les descripteurs de formes<\/h2><\/div><\/div>

2.1.<\/span>Moments statistiques<\/h3><\/div><\/div>

Dans le domaine de la reconnaissance de formes, les moments statistiques sont largement utilis\u00e9s [1] [2] [10]. Les moments cart\u00e9siens, centr\u00e9s et de Zernike peuvent d\u00e9crire une forme en un vecteur multidimensionnel utilisable par un classifieur. Ils d\u00e9crivent le contenu d\u2019une image par rapport \u00e0 leurs axes, et sont con\u00e7us pour capturer \u00e0 la fois l\u2019information g\u00e9om\u00e9trique globale et d\u00e9taill\u00e9e \u00e0 propos des formes. Nous choisissons de travailler avec de tels moments car ils pr\u00e9sentent la possibilit\u00e9 d\u2019en calculer la transform\u00e9e inverse.<\/span><\/p>

.<\/span><\/span><\/p>

En consid\u00e9rant une image comme une fonction de distribution de densit\u00e9 cart\u00e9sienne $f(x,y)$ (fonction bidimensionnelle continue), Hu explique dans [37] et [38] que le $(p+q)^{i\u00e8me}$ moment cart\u00e9sien de dimension 2 est d\u00e9fini en tant qu\u2019int\u00e9grale de Riemman comme :<\/span><\/p>

\\begin{equation}\\tag{2.1.1}
m_{pq}=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\int_{-\\infty}^{+\\infty}x^py^qf(x,y)dxdy
\\end{equation}<\/span><\/p>

.<\/span><\/span><\/p>

Sous les conditions d\u00e9crites par Shutler [8], nous savons que<\/span>la s\u00e9quence de moment $m_{pq}$ est d\u00e9finie de mani\u00e8re unique par $f(x,y)$ et inversement, $f(x,y)$ est d\u00e9finie de mani\u00e8re unique par $m_{pq}$ (th\u00e9or\u00e8me d’unicit\u00e9).<\/span><\/p>

.<\/span><\/span><\/p>

.<\/span><\/span><\/p>

Ceci implique qu\u2019une image peut \u00eatre d\u00e9crite et reconstruite si l\u2019on utilise des moments d\u2019un rang suffisamment \u00e9lev\u00e9.<\/span><\/p>

.<\/span><\/span><\/p>

La version discr\u00e8te de l\u2019\u00e9quation (2.1.1), pour une image constitu\u00e9e de pixels $P_{xy}$, donne :<\/span><\/p>

\\begin{equation}\\tag{2.1.2}
m_{pq}=\\sum_{x=1}^{M}\\sum_{y=1}^{N}x^py^qP_{xy}
\\end{equation}<\/span><\/p>

O\u00f9 $m_{pq}$ est le moment bidimensionnel Cart\u00e9sien, $M$ et $N$ les dimensions de l’image et $x^py^q$ la fonction de base.<\/span><\/p>

.<\/span><\/span><\/p>

En gardant les m\u00eames contraintes que pour les moments cart\u00e9siens, Shutler propose une extension aux moments centr\u00e9s, la fonction $g(x,y)$ \u00e9tant d\u00e9finie par :
\\begin{equation}\\tag{2.1.3}
g(x,y)=\\sum_{p=0}\\sum_{q=0}g_{pq}(x-\\bar{x})^p(y-\\bar{y})^q & N_{max}=p+q
\\end{equation}<\/span><\/p>

Ainsi, l\u2019\u00e9quation (2.2.3) devient\u00a0:
\\begin{equation}\\tag{2.1.4}
\\int_{-1}^{1}\\int_{-1}^{1}g(x,y)(x-\\bar{x})^p(y-\\bar{y})^qdxdy\\equiv
M_{pq}\\\\
\\end{equation}<\/span><\/p>

.<\/span><\/span><\/p>

Enfin, formul\u00e9s \u00e0 partir des travaux de Zernike [11] sous la forme complexe [9], les moments de Zernike $A_{mn}$ peuvent \u00eatre exprim\u00e9s comme :
\\begin{equation}\\tag{2.1.5}
A_{mn}=\\frac{m+1}{\\pi}\\sum_x\\sum_yP_{xy}[V_{mn}(x,y)]^*
\\end{equation}<\/span><\/p>

O\u00f9 $x^2+y^2\\leq1$, $^*$ d\u00e9note le complexe conjugu\u00e9 et $V(m,n)$ est le polyn\u00f4me de Zernike exprim\u00e9 en coordonn\u00e9es polaires comme :<\/span><\/p>

\\begin{equation}\\tag{2.1.6}
V_{mn}(r,\\theta) = R_{mn}(r)\\exp(jn\\theta)
\\end{equation}<\/span><\/p>

avec $(r,\\theta)$ d\u00e9finis sur le disque unit\u00e9, $j=\\sqrt{-1}$ et
\\begin{equation}\\tag{2.1.7}
R_{mn}(r)=\\sum_{s=0}^{\\frac{m-|n|}{2}}(-1)^sF(m,n,s,r)
\\end{equation}
o\u00f9
\\begin{equation}\\tag{2.1.8}
F(m,n,s,r)=\\frac{(m-s)!}{s!(\\frac{m+|n|}{2}-s)!(\\frac{m-|n|}{2}-s)}r^{m-2s}\\\\
\\end{equation}<\/span><\/p>

2.2.<\/span>Transform\u00e9e inverse<\/h3><\/div>

Concernant la reconstruction, Shutler explique que si tous les moments $M_{pq}$ (de l’ordre $0$ \u00e0 l’ordre $N_{max}$) d’une fonction $f(x,y)$ et d’ordre $N=(p+q)$ sont connus, il est possible d’obtenir la fonction continue $g(x,y)$ dont les moments correspondent \u00e0 ceux de la fonction originale $f(x,y)$ jusqu’\u00e0 l’ordre $N_{max}$.<\/span><\/p>

.<\/span><\/span><\/p>

En utilisant la d\u00e9composition en s\u00e9rie de Taylor\u00a0:
\\begin{equation}\\tag{2.2.1}
g(x,y)=g_{00}+g_{10}x+g_{01}y+g_{20}x^2+g_{11}xy+\\ldots+g_{pq}x^py^q\\\\
\\end{equation}<\/span><\/p>

.<\/span><\/span><\/p>

R\u00e9duite en\u00a0:<\/span><\/p>

\\begin{equation}\\tag{2.2.2}
\\begin{array}{cc}
g(x,y)=\\sum_{p=0}\\sum_{q=0}g_{pq}x^py^q & N_{max}=p+q\\\\
\\end{array}
\\end{equation}<\/span><\/p>

il faut calculer les coefficients constants $g_{pq}$ de fa\u00e7on \u00e0 ce que les moments de $g(x,y)$ correspondent \u00e0 ceux de $f(x,y)$ en supposant que l’image soit une fonction continue born\u00e9e par $\\{x,y\\}\\in[-1,1]$. Pour obtenir ces limites, il est possible de normaliser les valeurs des pixels sur celles de moments cart\u00e9siens :
\\begin{equation}\\tag{2.2.3}
\\int_{-1}^{1}\\int_{-1}^{1}g(x,y)x^py^qdxdy\\equiv M_{pq}
\\end{equation}<\/span><\/p>

Ainsi, en substituant l\u2019\u00e9quation (2.2.1) dans (2.2.3) et en r\u00e9solvant l\u2019\u00e9quation on obtient un ensemble lin\u00e9aires dont le nombre est d\u00e9termin\u00e9 par l\u2019ordre $(p+q)$ de la reconstruction. Il faut alors les r\u00e9soudre pour les coefficients $g_{pq}$ en inversant les matrices :
\\begin{equation}\\tag{2.2.4}
\\begin{array}{cc}
M_{pq}=\\sum_{i}\\sum_{j}g_{ij}\\frac{1}{(i+p+1)(j+q+1)}(1-(-1)^{i+p+1})(1-(-1)^{j+q+1}) & \\forall(i+j)\\leq N\\\\
\\end{array}
\\end{equation}.<\/span><\/span><\/span><\/p>

Il suffit enfin de r\u00e9int\u00e9grer les coefficients $g_{pq}$ dans l\u2019\u00e9quation (2.2.1) pour reconstruire une approximation de l\u2019image originale.<\/span><\/p>

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Figure 2\u20111<\/a> – Image originale et sa reconstruction avec les moments cart\u00e9siens \u00e0 l’ordre 2, 3, 5, 9, 11, 13, 19, 21 et 23<\/figcaption><\/figure><\/td><\/tr><\/tbody><\/table>

De la m\u00eame mani\u00e8re que nous avons calcul\u00e9 l\u2019expression inverse des moments cart\u00e9siens, les moments centr\u00e9s s\u2019obtiennent \u00e0 partir de\u00a0:<\/span><\/p>

\\begin{equation}\\tag{2.2.5}
M_{pq}=\\sum_i\\sum_jg_{ij}\\frac{[(1-\\bar{x})^{p+i+1}+(-1)^{p+i}(1+\\bar{x})^{p+i+1
}][(1-\\bar{y})^{q+j+1}+(-1)^{q+i}(1+\\bar{y})^{q+j+1}]}{(p+i+1)(q+j+1)}
\\end{equation}<\/span><\/p>

Les moments centr\u00e9s n\u2019\u00e9tant finalement qu\u2019une extension des moments cart\u00e9siens permettant l\u2019invariance \u00e0 l\u2019homoth\u00e9tie, les r\u00e9sultats obtenus apr\u00e8s d\u00e9composition et reconstruction seront les m\u00eames.<\/span><\/p>

.<\/span><\/span><\/p>

Enfin, et en suivant la m\u00eame m\u00e9thode, nous pouvons reconstruire la fonction originale avec les moments de Zernike. Shutler rapporte m\u00eame une m\u00e9thode plus rapide, bas\u00e9e sur la condition d\u2019orthogonalit\u00e9 [9] qui consid\u00e8re que si tous les moments cart\u00e9siens d\u2019une fonction $f(x,y)$ sont connus jusqu\u2019\u00e0 un ordre $N_{max}$, il est alors possible de reconstruire une fonction discr\u00e8te $\\hat{f}(x,y))$ dont les moments correspondent. Ce qui donne dans le cadre des moments de Zernike (exprim\u00e9 par Khotanzad dans [6]) :
\\begin{equation}\\tag{2.2.6}
\\hat{f}(r,\\theta)=\\sum_{m=0}^{N_{max}}\\sum_{n}A_{mn}V{mn}(r,\\theta)
\\end{equation}
$m-|n|$ pair et $|n|\\leq m$.<\/span><\/p>

Apr\u00e8s d\u00e9veloppement nous obtenons :
\\begin{equation}\\tag{2.2.7}
\\hat{f}(r,\\theta)=\\sum_{m=0}^{N_{max}}\\sum_{n>0}(C_{mn}\\cos n\\theta+s_{mn}\\sin n\\theta)R_{mn}(r)+\\frac{C_{m0}}{2}R_{m0}(r)
\\end{equation}<\/span><\/p>

$C_{mn}$ composant ainsi la partie r\u00e9elle de $A_{mn}$ comme :
\\begin{equation}\\tag{2.2.8}
C_{mn}=\\frac{2m+2}{\\pi}\\sum_x\\sum_yf(r,\\theta)R_{mn}(r)\\cos n\\theta
\\end{equation}
et $S_{mn}$ la partie imaginaire :
\\begin{equation}\\tag{2.2.9}
S_{mn}=\\frac{-2m-2}{\\pi}\\sum_x\\sum_yf(r,\\theta)R_{mn}(r)\\sin n\\theta\\\\
\\end{equation}<\/span><\/p>

Un exemple de reconstruction apr\u00e8s d\u00e9composition par moments de Zernike \u00e0 plusieurs ordres est illustr\u00e9 par la Figure 2\u20112. Le demi-disque obtenu \u00e0 l\u2019ordre 2 ainsi que le disque obtenu \u00e0 l\u2019ordre 3 sont li\u00e9s \u00e0 l\u2019expression dans une base circulaire des moments de Zernike.<\/span><\/p>

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Figure 2\u20112<\/a> – Image originale et sa reconstruction avec les moments de Zernike \u00e0 l’ordre 2, 3, 7, 9, 11, 13, 19, 25 et 49<\/p>

2.3.<\/b><\/span>PHENOMENE DE GIBBS<\/p><\/div><\/div>

Nous pouvons constater sur les images pr\u00e9sent\u00e9es par la Figure 2\u20111 et la Figure 2\u20112, la pr\u00e9sence d\u2019ondulations autour de la forme \u00e0 reconna\u00eetre du fait des d\u00e9passements des intervalles sur les discontinuit\u00e9s. Ceci est d\u00fb \u00e0 l\u2019incapacit\u00e9 pour une fonction continue de recr\u00e9er une fonction discr\u00e8te, qu\u2019importe combien de termes finis de grand ordre, un d\u00e9passement de la fonction se produit\u00a0; c\u2019est le ph\u00e9nom\u00e8ne de Gibbs [12]. Ce ph\u00e9nom\u00e8ne est un d\u00e9passement (ou ringing) des s\u00e9ries de Fourier et autres s\u00e9ries de fonctions sur des simples discontinuit\u00e9s, qui augmente jusqu\u2019\u00e0 diluer totalement l\u2019information utile.<\/span><\/p>

.<\/span><\/span><\/p>

Ceci peut \u00eatre expliqu\u00e9 en termes de s\u00e9ries de Fourier :
Soit $f:\\mathbb{R}\\rightarrow\\mathbb{R}$ une fonction continue int\u00e9grable d\u00e9finie par parties, p\u00e9riodique de p\u00e9riode $L>0$.
Supposons qu’\u00e0 certains points $x_0$ les limites gauche $f(x_{0^+})$ et droite $f(x_{0^-})$ de la fonction $f$ diff\u00e8rent d’une valeur non nulle de coupure $a$:$f(x_{0^+})-f(x_{0^-})=a\/neq0$. Pour chaque entier $N\\leq1$, soit $S_Nf$ la $N$th s\u00e9rie de Fourier partielle :
\\begin{equation}\\tag{2.3.1}
S_Nf(x):=\\sum_{-N\\leq n\\leq N}\\hat{f}(n)e^{2\\pi\\sin
x\/L}=\\frac{1}{2}a_0+\\sum_{n=1}^{N}a_n\\cos(\\frac{N\\pi
nx}{N})+b_n\\sin(\\frac{2\\pi nx}{N})
\\end{equation}
o\u00f9 $\\hat{f}$,$a_n$,$b_n$ sont les coefficients de Fourier. Si $x_n$ est une s\u00e9quence de nombres r\u00e9els convergeant vers $x_0$ comme $N\\rightarrow\\infty$, et si la valeur de coupure $a$ est positive alors :
\\begin{eqnarray}\\tag{2.3.2}
\\lim^+_{N\\rightarrow\\infty}S_nf(x_N)\\leq f(x_0^+)+a.(0.089490…)\\\\
\\lim^-_{N\\rightarrow\\infty}S_nf(x_N)\\geq f(x_0^-)-a.(0.089490…)
\\end{eqnarray}<\/span><\/p>

Notons que si la valeur de coupure est n\u00e9gative, il faut \u00e9changer les limites sup\u00e9rieures et inf\u00e9rieures, ainsi que les termes d\u2019\u00e9galit\u00e9.<\/span><\/p>

3.<\/span>mesure de la precision<\/h2><\/div><\/div>

La mesure que nous cherchons \u00e0 estimer correspond \u00e0 la quantit\u00e9 d\u2019information qui est prise en compte par l\u2019attribut. Cette mesure correspond au pourcentage d\u2019information conserv\u00e9 par l\u2019attribut par rapport \u00e0 l\u2019information compl\u00e8te. Dans notre cas, cette mesure s\u2019obtient par le biais d\u2019une mesure de distance entre l\u2019objet original et l\u2019objet reconstruit. Toute la difficult\u00e9 provient de l\u2019application de la mesure de distance \u00e0 utiliser qui diff\u00e8re selon la nature de l\u2019information extraite par l\u2019op\u00e9rateur de calcul de l\u2019attribut. Dans le cas d\u2019un op\u00e9rateur de quantification couleur, la distance s\u2019appuiera forc\u00e9ment sur la perte de complexit\u00e9 obtenue, estim\u00e9e par une somme de diff\u00e9rences couleurs \u00e9tablies dans un espace couleur adapt\u00e9 (id. \u0394E ou \u0394E2000 <\/sub>dans l\u2019espace CIE La*b*). Les diff\u00e9rences \u00e9tant calcul\u00e9es entre la couleur du pixel de l’image originale $P_1(x,y)$ et le pixel de l’image quantifi\u00e9e $P_2(x,y)$ et la somme conduite sur toutes les positions $(x,y)$ de l’image.<\/span><\/p>

.<\/span><\/span><\/p>

Dans l\u2019exemple qui nous int\u00e9resse, nous nous attachons \u00e0 des objets binaires de couleur noire (valeur nulle) sur fond blanc. L\u2019objet reconstruit \u00e0 partir des moments que nous utilisons n\u2019est en revanche pas binaire, mais en niveaux de gris \u00e0 cause de la formulation h\u00e9rit\u00e9e du domaine continu. La binarisation de l\u2019objet est donc un \u00e9tage suppl\u00e9mentaire \u00e0 pr\u00e9voir avant le calcul de la distance entre objet reconstruit et original.<\/span><\/p>

3.1.<\/span>QUELLE FONCTION DE DISTANCE ?<\/h3><\/div><\/div>

Soient deux images binaires $P_1$ et $P_2$ d\u00e9finies sur un m\u00eame support spatial de taille $N\\times M$ pixels avec $P_1(x,y)$ et $P2(x,y)$ nuls pour tous les pixels de l’objet repr\u00e9sent\u00e9 sur l’image originale (par voie de cons\u00e9quence, $P_1(x,y)=1$ pour tous les pixels du fond).<\/span><\/p>

Les premi\u00e8res fonctions de distance auxquelles nous pourrions penser sont les m\u00e9triques de type Minkowski :<\/span><\/p>